페르마의 정리

피에르 드 페르마는 프랑스 변호사이자 재판소 판사, 고전문학의 전문가이자 언어학자, 전 시대를 통틀어 가자 위대한 ‘아마추어’ 수학자 중 한 사람이었다. 그는 페르마의 마지막 정리로 유명하지만, 이것은 그의 수많은 정리 중 한 가지에 불과하다. 대부분의 정리들은 수학의 한 영역인 정수론 분야에 속하는 것들로서, 페르마가 단독으로 연구한 정리만으로도 충분히 근대 정수론의 장을 열었다고 할 수 있다.

 

목차

1. 수학적 장난

2. 마지막 정리

3. 또 다른 정리

 

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1. 수학적 장난

 

페르마는 스스로의 의지로 어떤 책도 출판하지 않았다. 대신 수학에 대한 그의 업적은 서신 형태로 알려졌다. 이 중 많은 것이 마랭 메르센과 직접 교환한 서신을 통해서였다. 프랑스 수사였던 메르센은 특히 정수론 분야에서 수학자들 간의 의견 및 연구 내용 등을 중개함으로써 17세기 프랑스의 수학이 겪던 혼란기에 매우 중요한 역할을 했다.

페르마가 가장 선호한 접근법은 수반되는 증명이 없는 정리를 내놓아 다른 사람들이 그것을 증명하도록 자극시키는 것이었다. 그 결과, 그가 주장했던 모든 증명들을 실제로 해냈는지에 대하여 의문을 갖는 사람들도 있었다.

 

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2. 마지막 정리

 

가장 널리 알려진 정리는 페르마의 마지막 정리다. 증명된 그의 많은 정리들 중 마지막 정리였기 때문에 붙여진 이름이다. 페르마는 당시 출간된 디오판토스의 ‘산술’을 읽던 중, 제목이 ‘한 제곱수를 다른 두 개의 제곱수로 나누기’인 장의 여백에 “지수가 2보다 큰 경우에는 그런 구조를 생각할 수 없다”라고 메모를 써놓았다.

페르마의 마지막 정리는 n이 2보다 큰 수 일 때, 방정식 an+bn=cn을 만족하는 양의 정수, a,b,c가 존재하지 않는다는 것을 말한다. 이에 대해 그는 “나는 경이로운 방법으로 이것을 증명했다. 하지만 여백이 너무 좁아 여기에 옮기지는 않겠다”는 기록을 남겼다.

 

 

특별한 형식을 갖추지 않은 채 써놓은 이 명제를 재현하기 위해 300년이 넘도록 수많은 학자들이 열정적으로 도전해 왔었고, 1995년 영국의 수학자 앤드루 와일스에 의해 증명을 했다.

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3. 또 다른 정리

 

이 외에도 페르마는 페르마의 소정리 및 두 제곱수 정리 등 다른 많은 정리들을 제안했다. 페르마의 소정리는 큰 소수에 관한 것으로, 오늘날 신용카드의 보안 체계에 사용되고 있다.

두 제곱수 정리는 홀수인 어떤 소수가 두 제곱수의 합일 필요충분조건은 이 소수가 4로 나누어 나머지가 1이 된다는 것이다.

 

 

또한 페르마는 독자적으로 해석기하학의 형식을 제안했는데, 이것은 데카르트와 우선권에 관해 격렬한 논종을 벌이는 계기가 되었다. 데카르트와 마찬가지로, 페르마는 해석기하학을 3차원으로 확장하기 위해 세 번째 축 사용을 제안했고, 뉴턴과 라이프니츠의 미적분학을 예측한 무한소 및 곡선의 기울기를 찾는 방법을 연구했다.

 

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