골드바흐의 추측

목차

1. 골드바흐의 추측

2. 골드바흐 추측은 중요한가?

3. 골드바흐 추측의 '증명'

 

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1. 골드바흐의 추측 

 

소수에 대해서는 이미 여러 차례 언급하였습니다. 2, 3, 5, 7, 11, … 1과 자신의 수로만 나눌 수 있는 수를 소수라고 합니다. 정의는 이렇게 간단하지만 소수 분야에는 어려운 문제들이 널려 있습니다. 그중 몇 백 년 전부터 풀리지 않고 있는 문제가 있으니 이름하여 골드바흐의 추측입니다.

외교관인 골드바흐는 수학에 지대한 관심이 있었습니다. 그는 1742년 유명한 수학자 오일러와 이 문제를 논의했다고 하는데, 골드바흐의 추측을 설명하는 것은 어렵지 않습니다. 소수의 덧셈적 속성에 관한 것으로, 3보다 큰 짝수는 두 소수의 합으로 표시할 수 있는가의 문제였습니다. 시험 삼아 짝수 30을 살펴보면, 30은 둘 다 소수인 7+ 23으로 쓸 수 있고, 30은 11+ 19이기도 합니다. 이제까지 알려진 짝수들은 모두 두 개의 소수로 쪼갤 수 있는 것들입니다. 게다가 그 짝수가 큰 수인 경우에는 표현 가능성이 여러 가지가 될 수 있습니다.

 

 

 

실험을 했을 때 결과가 이렇게 확실한데도 이 명제가 항상 참이라는 최종적인 증명은 아직까지 나오지 않고 있습니다. 이것은 수학자들 사이에서는 거의 스캔들에 가깝습니다. 사실 이런 증명이 수학의 응용분야에 큰 이익을 가져오거나 하지는 않지만, 수학자들의 관심은 응용을 위한 방법적 연구뿐만이 아니라 수, 도형, 확률의 세계를 지배하는 보편적 법칙을 찾아내는 데 있습니다.

오랫동안 풀리지 않고 있거나 역대 석학들도 풀지 못한 문제는 특히 수학자들을 자극하고 있습니다. 몇 년 전부터는 미해결 문제에 큰 상금이 걸려 문제를 해결했을 때 두툼해질 지갑도 흥미를 자극하는 요인 중 하나가 되었습니다.

 

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2. 골드바흐 추측은 중요한가? 

 

골드바흐 추측의 중요성에 대해서는 수학자들 사이에서도 의견이 분분합니다. 수백 년 동안 풀지 못한 문제이기에 더욱 흥미를 끕니다. 언젠가 이 문제를 푸는 사람은 아마 처음으로 에베레스트 산 정상에 올랐거나 백 미터 달리기에서 세계 최초로 십 초대의 벽을 깬 사람처럼 느껴질 것입니다.

 

 

이 추측의 중요성에 의심을 품는 이유가 무엇인지 이해가 되지 않는 사람은 소수의 곱셈적 속성을 떠올려보면 됩니다.

소수는 작은 수들의 곱으로 쓸 수 없다는 곱셈과 관련한 속성에 의해 정의되는 수입니다. 소수에 있어서 가장 중요한 1보다 큰 모든 자연수는 소수의 곱으로 표시할 수 있다 라는 결과도 곱셉에 관한 것입니다. 또한 여기서 곱으로 표시할 수 있는 소수들은 분명하게 규정되어 있습니다. 그런데 골드바흐의 추측은 소수의 곱이 아니라 합에 관한 것이라 비판하는 쪽에서는 전혀 흥미로울 것이 없다고 합니다.

 

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3. 골드바흐 추측의 '증명' 

 

아마추어 수학자들도 종종 골드바흐 추측의 증명을 시도합니다. 다음은 그 사례 중 하나입니다.

첫 번째, 소수의 수는 무한하다.

두 번째, 두 소수의 합을 구하면 무한히 많은 수가 만들어진다. 이것으로 골드바흐의 추측은 증명된다.

하지만, 애석하게도 이것은 완전한 증명이 되지 못하였습니다.

 

 

 

하나의 수가 두 소수의 합으로 나타나는 일이 '무한히' 많다는 관찰은 옳았지만, 그보다 더 확실한 증명은 없을 것입니다. 그러나 이것이 모든 수에서 그렇다는 것을 증명하지는 않습니다. 이 아마추어 수학자는 아마 '무한 집합에서 무한히 많은 원소를 대면 그게 모두가 아니냐?'고 항변할 수도 있을 것입니다. 유한 집합에서는 그에 맞는 옳은 결론이 있게 마련이지만, 무한의 세계에서는 다른 법칙이 존재합니다. 즉 골드바흐 추측은 여전히 미해결 문제로 남아 상금을 타갈 사람을 기다리고 있습니다.

 

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