극값계산

목차

1. 시뮬레이티드 어닐링

2. 전형적인 극값문제

 

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1. 시뮬레이티드 어닐링 

 

엔진 설정을 어떻게 해야 연비를 절감할 수 있을까요?

최대한 멀리뛰기 위해서는 도약대를 어떻게 설치해야 할까요?

극한 문제를 풀기 위한 방법들은 수세기에 걸쳐 축적되어 왔습니다. 가장 간단한 경우는 가능성의 수가 유한하고 그 수가 많지 않은 때입니다. 이때는 모든 가능성을 직접 시험해 보고 가장 효율적인 것을 고를 수 있게 됩니다. 두 번째로 간단한 경우는 각각의 연속적인 매개변수에 대해 최적의 값을 알아내야 할 때입니다. 예를 들어 공의 투척범위를 공을 던지는 각도의 함수로 조사해야 할 때입니다.

 

 

아마 수학시간에 한번쯤 들어본 기억이 있을 것입니다. 이 문제는 매개 변수에 따라 목표값을 추론해 내는 방법으로 풀 수 있습니다. 답이 영이 되도록 해놓고 매개변수를 대입해 방정식을 푸는 것입니다.

여기서 중요한 것은 원래는 무한인 문제(매개변수는 수없이 많다)를 하나의 방정식으로 변환할 수 있고, 그렇게 함으로써 유한한 시간 내에 문제해결이 가능해진다는 점입니다. 이미 수백 년 전에 발견된 이 놀라운 사실은 미분과 적분이 발전하는 계기가 되었으며, 영향을 주는 요소가 여러 개일 경우에도 크게 다르지 않습니다. 물론 훨씬 복잡해지기는 하지만 역시 방정식으로 변환할 수 있습니다. 그리고 오늘날에는 값싸고 성능 좋은 컴퓨터 덕분에 수십 년 전에는 생각지도 못했던 복잡한 문제들도 해결이 가능해졌습니다.

그러나 가끔은 완전히 다른 아이디어들이 나오기도 합니다. 몇 년 전에는 '시뮬레이티드 어닐링'이 큰 인기를 얻었습니다. 이 방법은 짙은 안개 속에서 어슬렁거리며 그 지역의 가장 높은 지점을 찾아가는 산책길에 비유됩니다.

 

 

 

원칙적으로는 계속 위로 올라가지만 가장 높은 지점이 아니라 작은 언덕의 꼭대기에 도달하는 실수를 막기 위해 전략적으로 올라가기와 내려가기를 반복합니다. 여기서 하나 강조하고 싶은 것은 수학에 맡길 수 있는 것은 문제의 해결이지 목표의 설정이 아니라는 것입니다. 처음에 언급한 연비절감의 예에서도 쌩쌩 잘 달리는 자동차를 원하는지, 무조건 돈을 절약하고 싶은 지, 아니면 친환경적인 자동차를 원하는지에 따라 답이 달라질 수 있습니다.

 

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2. 전형적인 극값문제 

 

한라산에서 자전거 하이킹을 한다고 생각해 보죠. 아침에 호텔을 나서서 정상을 찍고 저녁에 돌아오는 코스라 가정한다면 코스의 가장 높은 곳에서 자전거는 수평으로 서 있을 것입니다. 어느 지점에서든 자전거의 앞바퀴가 뒷바퀴보다 높이 서 있다면 아직 올라가야 할 길이 더 남았다는 뜻이죠. 그 반대라면 후진할 경우 지금보다 더 높은 곳에 이르게 된다는 뜻입니다.

이것은 전형적인 극값계산 문제입니다.

 

 

 

최대치에서 곡선의 기울기는 영이어야 하고, 감소하는 기울기는 극값이 존재하기 위한 필요조건이라고 할 수 있습니다.

극값을 계산하기 위해서는 기울기를 규정하는 공식이 필요합니다. 이 공식은 근대 수학을 탄생시킨 중요 동력 중 하나로 라이프니츠와 뉴턴이 각각 독립적으로 발견했습니다.

 

 

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