부호화 : 샘플링 정리

목차

1. CD 플레이어

2. 샘플링 정리

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1. CD 플레이어 

 

한 때, 어느 가정에서나 흔히 접할 수 있는 기계 중 가장 많은 수학을 담고 있는 것은 아마도 CD플레이어일 것입니다. CD(콤팩트 디스크) 기술에 수학이 중요한 이유는 두 가지인데, 그 첫 번째는 연속적인 원음을 디지털화하면서 정보가 수많은 0과 1로 변환되는 과정 때문입니다.

CD음원을 읽어내려면 일 초당 44,000번의 진동이 측정되며, 신호처리에 관한 어느 연구 결과에 의하면 이것으로 인간이 들을 수 있는 모든 소리를 들을 수 있다고 합니다(만약, 인간의 청력이 더 좋거나 나빴다면 CD의 스캔비율도 지금과 달랐을 것이다).

 

 

 

 

두 번째로 수학이 필요한 이유는 아무리 비싸고 훌륭한 기술을 사용해도 CD의 생산과 재생 과정에서 먼지나 고양이가 할퀸 자국 때문에 문제가 생긴다는 것입니다. CD 속의 데이터를 읽을 수 없게 되어 속상했던 경험은 누구에게나 있을 것입니다. 수백만 바이트 중 단 1바이트만 잘못 전달되어도 파일 전체(예, JPEG 이미지, HTML 문서 등)를 읽지 못하게 되므로 이것은 큰 문제가 됩니다. 그렇다고 해서 CD플레이어를 완벽하게 만들려고 한다면 CD도. 플레이어도 대중적인 사용이 불가능할 정도로 비싸진다고 합니다.

 

다른 가능성으로는 부호이론이 있습니다. 수신자에게 메시지가 전달될 때 오류가 나더라도 내용을 읽을 수 있게 하려면 어떻게 해야 할까요? 열 글자짜리 문장을 모스부호로 보내야 한다고 생각해 보죠. 오타나 공기 중의 잡음에 의한 오류가 생길 수 있음에도 불구하고 원래의 메시지가 잘 도착하게 하려면 어떻게 해야 할까요? 똑같은 메시지를 아주 여러 번' 보내는 방법이 있습니다.

 

 

 

수신자는 받은 메시지 중 가장 잦은 횟수의 것을 채택하면 됩니다. 그러나 CD에서 이 작업을 하려면 너무 시간이 오래 걸리게 됩니다. 그래서 고안된 방법이 원음의 길이를 실제로 보내지는 시그널보다 길지 않게 만드는 것입니다. 최근에는 CD 저장기술이 좋아져서 꽤 큰 흠집이 생겨도 CD 재생에 문제가 없게 되었습니다. 심지어 긁힌 자국이 있어도 재생할 수 있습니다.

LP판도 그러면 좋겠지만 레코드는 판 위의 먼지 소리까지도 들을 수 있을 정도로 민감합니다.

 

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2. 샘플링 정리 

 

음악 따위의 음향 시그널 원음이 가정의 CD플레이어에 도달하기까지는 다음의 과정을 거쳐야 합니다. 먼저 톤이 디지털화되어야 합니다. 즉 끝없이 긴 영과 일로 변환되어야 합니다. '연속적인' 세계에서 디지털의 세계로 이동하는 이 단계가 가장 중요한 단계입니다. 이 과정을 거쳐야 음질의 손실 없이 데이터를 복사하거나 그 데이터로 다른 작업을 할 수 있습니다.

이런 작업이 필요한 이유는 인간의 청력이 고도로 발달되지 않았기 때문입니다. 만약 인간이 아주 높은 주파수의 소리를 들을 수 있다면 CD는 필요 없을 것입니다. 그러나 인간이 들을 수 있는 최고음역은 20킬로헤르츠이기 때문에 다음의 두 단계로 디지털화를 해야만 합니다.

 

 

 

• 먼저 시그널이 필터를 통과한다. 이 필터에서 인간의 귀로 들을 수 없는 높은 주파수는 잘려나간다. 그러나 그 결과는 원음과 거의 차이가 없다.

• 이렇게 제한된 주파수의 시그널을 재생하기 위해서는 충분한 횟수로 측정만 하면 된다.

두 번째 항목은 샘플링 정리에 관한 것이며, 자세하게 설명하면 다음과 같습니다.

• 하나의 시그널에 최대f인 여러 주파수 성분이 함께 들어 있을 때, 일정한 시간 간격으로 최대 1/2f의 값을 측정하면 이 시그널을 복원시킬 수 있다.

• 예를 들어, 한 시그널 속에 최대 10킬로헤르츠의 주파수가 들어있다면 샘플링 비율은 1/20000이 되어야 한다. 다시 말하면 아날로그신호의 값을 일 초당 20,000번 읽어들여야(샘플링해야) 한다.

 

 

 

너무 추상적으로 들린다면 다른 분야의 예를 들어 보죠. 일 초당 프레임 수를 조절할 수 있는 캠코더가 있고, 아들이 그네 타는 모습을 찍으려고 합니다. 보통의 프레임 수를 적용하면 사실적인 동영상이 나올 것이지만, 프레임 수를 너무 적게 하면 변조가 생길 것입니다. 아이는 그네를 크게 한 번 굴렀는데 프레임과 프레임 사이의 움직임은 아주 적게 구른 것처럼 나오는데, 이것은 캠코더가 아이의 움직임을 다 읽어내지 못하기 때문입니다. 샘플링 정리는 자연스러운 움직임이 나오게 동영상을 찍으려면 프레임 수를 몇으로 해야 하는지 알려 주는 지표라고 할 수 있습니다.

 

 

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