0(영)

목차

1. 수는 추상입니다

2. 어떻게 미지수를 찾을 것인가?

 

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1. 수는 추상입니다 

 

사과 다섯 개의 집합과 배 다섯 개의 집합이 가진 공통점은 원소가 다섯 개라는 것입니다. 여기서 '다섯'이라는 개념이 나오고, 사람들은 곧 이 개념에 기호를 붙여 사용하는 것이 얼마나 편한 지 알게 됩니다. 이것은 모든 문화권에서 공통적으로 나타나는 현상이며 유치원 아이들도 능숙하게 다루는 간단한 수학이 됩니다.

 

그렇다면 영은 어떤가요? 집합에 원소가 하나도 없는 일은 별 대단한 일이 아닙니다. 그럼에도 불구하고 영에 따로 기호를 붙여야 한다는 의견이 관철되기까지는 수백 년이라는 시간이 걸렸습니다.예를 들어 로마숫자에는 영이 없었습니다. 이 수 체계가 계산에 적당한 체계가 아니었다는 것은 쉽게 상상할 수 있을 것입니다.

 

 

 

영이 도입되고 나서야 큰 수도 일목요연하게 표현할 수 있고, 계산도 편하게 할 수 있게 되었습니다. 구구단을 외울 줄 알고 한 자리 수의 덧셈과 곱셈을 할 줄 아는 사람이라면 별 어려움 없이 아주 큰 수도 셈할 수 있습니다. 여기서 0은 근본적으로 중요한 역할을 담당합니다. 예를 들어 702에서 0은 10자리 수가 없다는 것을 나타내고, 그리고 하나의 수 뒤에 0이 많이 따라올수록 그 수의 가치는 높아집니다. 1000의 1은 10의 1보다 훨씬 큰 가치를 지니는 것이죠.

 

 

인도인의 자리표기법에서 0은 하나의 특수부호일 뿐이었습니다. 그 자리에 아무것도 오지 않는다는 것을 표시하기 위한 부호였다(물론 아무것도 쓰지 않는 것보다는 훨씬 실수를 줄일 수 있었다).

카플란은 그의 책 ‘0의 역사,'에서 이렇게 썼습니다.

 

"마치 쉼표가 알파벳이 아니듯 영은 숫자가 아니었다."

 

16세기 초에 들어서야 영은 ‘완전한 가치를 지닌' 수로서 수 체계에 편입되었습니다.

 

 

 

수학자들에게 있어서 0은 숫자를 표현하는 큰 역할 이상의 의미가 있습니다. 0은 가장 중요한 수 중 하나입니다. 이것은 더했을 때 아무런 변화를 일으키지 않는 0의 순수한 성질에 기인하는데, 이 성질 때문에 '중립적 원소'라는 표현을 사용하기도 합니다. 수의 세계에서 0은 양수와 음수의 중간에 서서 중심의 역할을 합니다.

그러나 0이 완전히 자리를 잡은 것은 아닙니다. 아마 늦어도 2100년을 앞둔 연말에 또 한 번 큰 토론이 있을 것입니다. 시간계산을 0에서 시작할 것인지, 아니면 1에서 시작할 것인지를 두고 22세기가 시작되는 정확한 시점이 어디인지 의견이 분분해질 것이기 때문입니다.

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2. 어떻게 미지수를 찾을 것인가? 

 

간단한 덧셈 문제를 가지고 셈에서 영의 활약상을 살펴보죠. 여기서는 아래와 같은 정수의 범위를 떠나지 않을 것입니다.

…, -2, -1, 0, 1, 2, 3,

먼저 일 단계에서는 위에서도 말했지만 영이 셈의 결과를 변화시키지 않는다는 사실을 다시 한 번 각인합니다.

y가 어떤 수이든 상관없이 y+0=0이다.

이 단계에서는 ‘영으로의 영원한 회귀'에 대해 알아봅니다. 이 말은 y가 어떤 수이든 w를 구할 때 y+w=0의 식으로 구한다는 말입니다. 즉, y=5라면 w=-5이고, y=-13이라면 w=13이 되는 것입니다.

보통 이 w를 -y로 표시하고 'y의 (덧셈의) 역수'라고 부릅니다. 방금 살펴보았듯이 -(-13)은 13입니다('부정의 부정은 긍정이다’라는 말로 외웠던 원리가 바로 이것이다).

 

 

 

이제 방정식을 풀 준비가 되었습니다. 다음의 방정식에서 2를 구해 보죠.

x+13=4299

미지수 x를 구하기 위해서는 각 항에 13의 역수인 - 13을 더하면 됩니다. 그러면 아래와 같은 식이 되죠.

x+13+(-13)=4299+(-13)

왼쪽 항은 x+{13+(-13)}로 바꿔 쓸 수 있습니다. 덧셈의 결합법칙이 성립하기 때문이죠. 그리고 13+(-13)은 0이 됩니다(역수를 더한 이유는 0을만들기 위한 것이었다). 원래는 x+ 0이라고 써야 하지만 0의 '중립적' 성질 때문에 그냥 x라고만 써도 됩니다. 정리하면 x=4299+ (-13)입니다.

보통은 x=4299-13이라고 쓰고, x가 4286이라는 것은 초등산수 실력이면 누구나 알 수 있습니다.

아주 간단한 계산 문제지만, 번거롭게 계산을 해 본 이유는, 방정식 풀이의 어느 부분에서 0의 성질이 중요해지는 지 정확하게 살펴보기 위해서였습니다.

 

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