수학의 구체적 응용

목차

1. 수학에 아직도 발견할 게 더 남았나요?

2. '저장' 수학

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1. 수학에  아직도 발견할 게 더 남았나요?

 

"수학에 아직도 발견할 게 더 남았나요?"

 

수학자들이 가끔 자신의 직업을 말하고 난 뒤 상대방에게 듣게 되는 말입니다. 아마 아직 홍보가 덜 돼서 모르는 사람이 많은 것 같은데, 사실 수학처럼 재미있는 학문은 없습니다. 또한 수학은 고도의 창의성을 필요로 하는 일이며 현실에서 발생하는 문제에 대한 구체적 해답을 제시할 수 있는 학문이기도 합니다. 수학의 이미지 쇄신을 위해 수학이 얼마나 재미있는지 수학자의 어깨 너머로 배워 보기로 하겠습니다.

 

 

 

문제의 설정을 이해하기 위해 우선 두꺼운 얼음 층으로 뒤덮인 하르츠(하이네의 ‘하르츠 기행’으로 유명한 북부 독일의 산지) 산맥을 떠올려 보죠. 이쪽 산꼭대기에서 같은 높이의 저쪽 산꼭대기로 이동하려면 방향을 잘 잡아서 힘차게 미끄러져 내리기만 하면 됩니다. 그러면 중력에 의해서 속도가 붙을 것이고 산비탈을 미끄러질 때 생긴 힘으로 목적지까지 단번에 올라갈 수 있습니다.

 

 

훨씬 더 복잡하긴 하지만 우주여행에서도 똑같은 원칙을 사용합니다.

우주공간에도 점과 점 사이의 구간으로 표현되는 많은 길들이 존재하며, 한 점에서 다른 점으로 이동할 때 태양, 달, 혹성의 인력을 잘 활용하면 에너지를 전혀 소비하지 않고도 목적지에 도달할 수 있습니다. 요즈음에는 이런 식으로 장기간의 우주탐사 계획을 세우고 있습니다.

 

 

 

출발점과 도착점 사이의 거리는 당연히 사전에 꼼꼼히 계산되어야 합니다. 그리고 궤도를 벗어나지 않기 위해 필요한 최소한의 항로변경에 대한 것도 미리 알고 있어야 합니다. 이와 같이 수학의 도전은 실로 엄청납니다. 만약 이론수학과 응용수학의 기반이 마련되지 않았더라면, 그리고 오늘날과 같은 뛰어난 성능의 컴퓨터가 없었더라면, 우주비행의 항로계산 같은 것은 꿈도 못 꾸었을 것입니다.

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2. '저장' 수학

 

그동안 수학은 방대한 양의 방법론과 결과들을 축적해 왔습니다. 수학이 지난 백 년간 이뤄낸 성과들을 보면 문제 자체가 가진 매력이 크게 작용 했음을 알 수 있으며, 사실 구체적 응용에 대한 생각은 종종 뒷전으로 밀려나기도 했습니다. 이미 알고 있는 방법을 적용해서 문제를 푸는 과정에서 새로운 문제가 발견되는 일은 의외로 많습니다.

 

역사에서 한 가지 예를 찾아보라면 원뿔곡선을 들 수 있습니다. 원뿔곡선이란 원뿔을 날카로운 칼로 잘랐을 때 생기는 단면, 즉, 원, 타원, 포를 선, 쌍곡선을 말헙나다.

 

 

 

이미 고대 그리스의 수학자들은 원뿔곡선에 대한 상당한 지식을 가지고 있었습니다. 연구 초기의 시금석이라 할 만한 작품은 기원전 200년경에 아폴로니우스가 쓴 “Ponila (원곡선에 대하여)”라는 책이 있습니다.

 

그로부터 1,700년 후, 동로마 제국 말기에는 그리스 수학자들의 지식이 중앙 유럽에서도 큰 관심을 받았습니다. 그러나 몇 세기에 걸친 번역과 필사의 과정에서 오역과 오자가 난무해 잘못 전달된 내용이 많았다고 합니다. 16세기와 17세기의 생각있는 과학자들은 원본의 내용을 최대한 정확하게 복원시키는 데 힘을 쏟았으며, 그 노력의 결과로 아폴로니우스의 작품도 수학자들 사이에 널리 알려지게 되었습니다.

 

 

이것은 또한 천문학자 케플러가 코페르니쿠스의 세계관을 추정 자료와 일치시키려고 할 때 큰 도움이 되었습니다. 코페르니쿠스는 혹성들이 태양을 중심으로 한 원궤도를 따라 돈다고 주장했지만 17세기 초반의 측정 방법으로는 아무리 정확히 재어도 측정 결과와 맞아떨어지지 않았습니다. 여기서 케플러는 반짝이는 아이디어를 생각해내고 원궤도에서 타원궤도로 연구의 관심을 돌리게 됩니다. 그리고 케플러는 타원에 대해 알아야 할 모든 것을 아폴로니우스의 책에서 찾을 수 있었습니다.

 

 

 

이런 예는 상당히 많습니다. 아인슈타인의 상대성이론(20세기 초반)도 리만의 미분기하학(19세기 중반) 없이는 생각할 수 없었고, 컴퓨터 단층촬영(1960년대)의 기초가 되는 수학도 이미 그로부터 50년 전에 완성되었습니다.

그러나 지금 든 예들은 모두 운이 좋은 경우에 속합니다. 보통은 응용실제에서 문제가 제기되면 토론을 위해 처음부터 이론을 새로 개발하는 경우가 많습니다. 어쨌든 이렇게 지적인 매력과 더불어 현실의 구체적인 문제를 해결할 수 있다는 장점 때문에 사람들은 수학에 빠져들게 됩니다.