힐베르트의 호텔

목차

1. 무한성

2. 힐베르트의 호텔

3. 게오르크 칸토어

4. 그럼 잠은 언제자냐고요

 

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1. 무한성

 

무한성은 수학의 많은 주제들 중 하나 입니다. 그러나 수학자들이 다루는 무한성은 다소 생소한 법칙의 지배를 받기 때문에 일반인에게는 좀 적옹이 안 되는 주제이기도 합니다.

여기서는 가장 단순한 자연수의 무한집합, 즉 1, 2, 3, ..., n의 경우를 다루도록 하겠습니다. 1638년의 『디스코르 시」('로마사'에 대한 주해서)에서 갈릴레이는 무한의 세계에서 나타나는 기이한 현상에 대해 서술하고 있습니다. 당시 살바토레가 정확히 자연수의 무한집합만큼 많은 평방수 1, 4, 9, 16, , n이 있다는 것을 발견했기 때문이죠.

 

 

 

머릿속에 종이를 하나 놓고 윗줄에는 무한히 계속되는 자연수를, 그 아랫줄에는 그 수의 평방수를 두 줄로 나란히 적어 봅니다. 그러면 하나의 무한집합에서 중간에 뭔가를 빠뜨려도 '정확히 그만큼'이 그대로 존재한다는 것을 알게 됩니다.

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2. 힐베르트의 호텔

 

수학자 다비드 힐베르트(1862~1943)는 ‘힐베르트의 호텔' 이라는 이름으로 알려져 있는 재미있는 비유를 생각해 냈습니다. 이 호텔에는 1,2,3, •••, n의 번호가 붙은 무한히 많은 수의 방이 있습니다.

 

 

 

연휴를 맞아 호텔은 만원인데, 밤늦게 손님이 도착해 방을 하나 달라고 합니다. 이런 경우 보통은 손님을 돌려보내지만 힐베르트의 호텔은 다릅니다. 1호 방의 손님에게 2호 방으로 옮겨 달라고 하고. 2호 방 손님은 3호 방으로 옮기고, 3 호방 손님은 4호 방으로····· 이런 식으로 계속 진행합니다. 그러면 1호 방이 비게 되고, 새로 온 손님이 그 방에 듭니다.

이제 모두 조용히 잠을 갈 수 있다고 생각했지만 잠시 후 여덟 명의 손님이 들이닥칩니다. 이 여덟 명의 손님은 다 따로 여행하는 사람들이고, 모두 독방을 원합니다. 이제 1호 손님은 9호로, 2호 손님은 10호로, 이런 식으로 다시 방을 옮겨야 합니다.

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3.  게오르크 칸토어

 

무한집합을 체계적으로 연구하기 시작한 것은 19세기에 들어서였습니다.

이 분야의 개척자는 독일의 수학자 게오르크 칸토어입니다. 그러나 칸토어는 이것 때문에 많은 동료 수학자들에게 따돌림을 당해야만 했습니다. 칸토어의 반대자들은 수학의 대상은 구체적이고 구성 가능한 것이어야 한다고 주장했습니다. 현대에 이르러 칸토어의 수학자로서의 명예는 완전히 회복되었습니다. 그리고 무한은 오늘날 수, 기하학적 도형, 확률 등과 같이 일상생활에 꼭 필요한 수단이 되었습니다.

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4. 그럼 잠은 언제 자냐고요

 

그나저나 한밤중의 소동은 아직 끝나지 않았습니다. 호텔 근처의 역에 무수히 많은 여행객들이 도착했기 때문입니다. 여행객들은 지쳐 있고, 원래 힐베르트의 호텔에 예약이 되어 있던 사람들이었습니다.그러나 호텔은 빈 방이 없이 꽉 찼습니다. 그럼 이 사람들을 모두 돌려 보내야 할까요?

그럴 수는 없기에, 모두에게 전화를 걸어서 다시 한 번 이동이 시작됩니다. 1호 손님은 2호로, 2호 손님은 4호로, 3호 손님은 6호로...(즉, 방 번호가 계속해서 두 배의 수로 바뀐다), 이렇게 하면 홀수 번호를 가진 모든 방이 비게 되고, 새로 도착한 손님들은 홀수 번호의 방에 듭니다.

 

 

 

지금 하고 있는 것이 비록 무한성의 현상을 알기 쉽게 설명하기 위한 두뇌게임이긴 하지만, 현실적인 문제를 하나 깊고 넘어가지 않을 수 없습니다. 지금 11호 방에 묵고 있는 손님 n은 2n호 방으로 옮겨야 하는데, 1이 작은 수일 때는 짧은 거리이기 때문에 별 문제없이 금방 이동할 수 있지만, 만약 n2가 엄청나게 큰 수일 경우 현재의 방에서 새로운 방으로 이동하는 데 어마어마한 시간이 들 것입니다. 그러니 호텔 손님들이 축법 같은 것을 쓰지 않는 한 이 이동은 유한의 시간 내에 이루어질 수 없게 됩니다.

 

이 문제는 여러 명의 단체손님이 이동하는 경우에도 해당됩니다. 방을 옮겨야 한다는 사실을 모든 손님에게 동시에 알릴 수 있다면 문제가 없을 겁니다. 모두 동시에 짠! 하고 옮긴 뒤, 10분 뒤에는 편히 잠들 수 있을 테니까요. 하지만 누구나 알고 있듯이 빛의 속도보다 빠른 연락 방법은 없기 때문에, 가장 멀리 떨어진 방에서는 아마 다음날 아침이나 되어야 이동 소식을 전해 들을 수 있을 것입니다.