확률론의 역설들 - 파론도 역설, 순열 역설

목차

 

1. 파론도 역설

2. 역설

3. 순열 역설

 

 

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1. 파론도 역설

 

수학, 특히 확률론은 놀라운 현상들로 가득합니다. 하나의 결과가 일반적인 기대에 아주 심하게 모순될 때 그것을 역설이라고 합니다. 스페인의 물리학자 후안 파론도는 이 역설의 동물원에 또 하나의 새로운 표본을 더했습니다.

출발점은 게임자가 보통 쉽게 돈을 잃게 되는 카지노를 상대로 하는 두 개의 도박게임입니다.

첫 번째 게임에서는 게임자가 게임비를 내고 0.5퍼센트의 확률로 1만원을 따거나 잃게 됩니다. 두 번째 게임에서는 게임자가 돈을 딸 승산이 이제까지의 게임 진행상황에 따라 달라지게 됩니다. 유리한 판이 있고 덜 유리한 판이 있지만 평균적 승산은 같습니다.

 

 

 

이제 놀라운 일이 일어납니다. 판이 시작되기 전에 첫 번째 게임을 할 것인지 두 번째 게임을 할 것인지 동전을 던져 결정한다면, 게임자에게 이것은 더 이상 도박이 아니라 제비뽑기가 됩니다. 만약 카지노 측에서 이의를 제기하지 않는다면, 그리고 게임자가 인내심을 가지고 계속 버틴 다면 게임자는 얼마든지 돈을 벌 수 있습니다.

파론도의 발견 이후, 겉으로 보기에는 손해를 보는 것 같지만 결국에는 이득이 되는 상황이 수학적 이론으로 설명될 수 있다는 견해가 여기저기서 나오고 있습니다. 누구나 실생활에서 경험한 적이 있을 것입니다. 예를 들면 체스게임에서도 거의 모든 병력을 잃고도 마지막에 가서는 승자가 되는 수가 있습니다.

 

 

 

그렇다고 해서 이것이 곧바로 이론으로 연결되는 것은 아닙니다. 대학의 연구실이 됐든 신문의 칼럼이 됐든 사람들이 수학적 결과에 거는 기대는 엉뚱할 정도로 큽니다. 프랙탈과 카오스 이론이 나왔을 때도 그랬던 것처럼요.

아마 아는 사람은 다 알 것입니다. 그러나 그 이후 파론도의 역설이 적용된 일련의 흥미로운 연구들이 속출했다는 것 또한 무시할 수 없는 사실입니다. 예를 들면 미생물이 화학반응을 이용해 강물을 거슬러 올라가는 것도 파론도 역설로 설명할 수 있습니다.

 

 

파론도 게임의 첫 번째 규칙은 이미 위에서 설명했습니다. 두 번째 규칙은 좀 복잡합니다.

 

만일 이제까지 쌓인 게임자의 득점이 3으로 나누어지면 승산은 아주 적다. 게임자는 9/10의 확률로 1만원을 잃게 되며, 1만원을 딸 수 있는 확률은 1/10뿐이다.

9장의 카드에는 “벌금 1만원”이라 쓰여 있고, 나머지 한 장에만 “1만원 당첨”이라 쓰여있는 10장의 카드 중 한 장을 뽑는 게임을 상상해보면 된다.

즉, 득점이 3으로 나누어지지 않을 때의 승산이 훨씬 크다. 이때 게임자가 이길 확률은 3/4이고, 질 확률은 1/4이다.

 

이와 같이 각 게임은 현재 득점이 3으로 나누어지느냐 아니냐에 따라 게임자에게 유리한 게임이 될 수도 있고 불리한 게임이 될 수도 있습니다.

이기고 질 확률은 똑같다고 말할 수 있지만, 게임비 지출을 생각하면 장기적인 안목으로 봤을 때 진 게임이나 다름없습니다.

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2. 역설

 

역설은 수학의 도처에 널려 있습니다.

아주 큰 수나 아주 작은 수, 혹은 무한집합처럼 직접적인 경험을 통해 이해할 수 없는 현상에는 언제나 역설이 따라다닙니다. 그러나 확률론에서 역설이 자주 등장하는 것은 조금 의아한 일입니다.

 

 

 

인간은 진화를 겪는 과정에서 우연적 현상에 충분히 적응했기 때문입니다. 예를 들어 상대방의 얼굴 표정을 보고 그 사람의 기분을 비교적 정확하게 읽어낼 수 있고, 간단한 위험요소도 감지할 수 있습니다.

 

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3. 순열 역설

 

또 다른 유명한 역설로는 순열 역설이 있습니다.

순열 역설이란, 10장의 편지를 쓰고 각 편지에 맞게 편지봉투를 씁니다. 그리고는, 편지봉투를 마구 뒤섞은 뒤, 갓 섞인 편지봉투 속에 편지를 한 장씩 집어넣습니다. 원래의 편지봉투에 제대로 들어간 편지는 과연 몇 장이나 될까요?

 

 

 

언뜻 생각하면 가능성 이 희박해 보이지만 확률론에 따르면 편지가 제 편지봉투 속에 들어갈 확률은 63퍼센트라고 합니다. 믿기지 않겠지만 이건 사실입니다.