원과 π

원은 가운데 한 점에서 같은 거리에 있는 점을 지나는 곡선으로 이루어진 평면도형이다.

원은 신비적인 해석이 부여된 성질들을 가지고 있다. 이를테면 시작점이나 끝점이 없으며, 시작점이 어디든 상관없이 측정할 수 있고, 원의 중심을 지나는 어떤 축에 대해서는 항상 대칭을 이룬다.

선사시대 사람들은 원이 천체와 관련 있고 여기에 ‘신비적인’ 특성들까지 더하여지며 큰 영향을 받았다.

 

목차

1. 원의 측정

2. 원의 넓이

3. π의 역사

 

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1. 원의 측정

 

원의 테두리 길이를 원둘레라 하고, 원의 중심에서 원 위의 임의의 점까지의 거리를 반지름이라 한다. 지름은 원 위의 임의의 두 점을 이은 선분 중 원의 중심을 통화하는 것으로, 지름은 반지름의 두 배다.

사람들이 어느 정도 사물을 정확히 측정하기 시작하면서 원의 지름(D)과 둘레의 길이(C) 사이에 특별한 관계가 있다는 것을 알아차렸을 것이다. 원의 크기에 상관없이 원둘레 길이에 대한 지름의 비율은 항상 같다. 이 비율을 원주율이라 하며, 보통 기호 π를 사용하여 나타낸다.

원주율은 어떤 분수나 소수로 정확히 나타낼 수 없어 대부분의 계산에서는 근삿값 3.14를 사용하고 있다.

간단하지만 방정식 C/D=π임을 알고 있으면, 원과 관련된 크기를 훨씬 쉽게 구할 수 있다.

 

 

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2. 원의 넓이

 

원의 넓이를 구하는 식은 π*r제곱(혹은 πr제곱) 으로, r은 원의 반지름으로 지름 D의 1/2이다.

즉, 반지름 대신 지름을 사용하면 원의 넓이를 구하는 식은 π/4*D제곱이다. 특히 반지름의 길이가 1인 원을 단위원이라 하며, 단위원의 넓이는 π*1제곱=π 또는 3.14이다.

단위원을 이용하면 원의 넓이와 정사각형의 넓이를 쉽게 비교할 수 있다. 단위원의 지름을 한 변의 길이로 하는 정사혁의 넓이는 2*2=4이다. 따라서 (단위원의 넓이)/(정사각형의 넓이)는 대략 3.14/4=0.785로 78.5% 정도 되며, 이 비율은 원에 외접하는 어떤 정사각형에 대해서 항상 같다.

 

 

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3.  π의 역사 

 

최초로 거의 정확하게 π의 값을 계산한 사람은 기원전 250년경의 고대 그리스 수학자 아르키메데스다. 그가 사용한 방법은 실진법으로 원보다 약간 큰 다각형과 약간 작은 다각형의 넓이를 구한 다음, 이 두 넓이를 π의 상한, 하한으로 설정하여 π의 근삿값을 구하는 것이다.

 

 

이때 가각현의 변의 개수가 많아질수록 다각형의 넓이가 원의 넓이에 가까워지므로, π의 극한값에 더욱 가까워지게 된다. 아르키메데스는 96각형의 다각형 넓이를 계산하여 π를 계산할 수 있었다.

그 후 1596년 독일 수학자 뤼돒프 판 쾰런은 변의 개수가 262(약 46억)개인 다각형을 사용하여 소수점 아래 34번째 자리까지 π의 값을 계산했으며, 오늘날의 슈퍼컴퓨터는 π의 값으로 1조 개의 숫자까지 계산할 수 있다.

 

 

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