피타고라스

고대 그리스 철학자이자 신비주의자인 사모스의 피타고라스는 새로운 용어를 만들어내고 계속해서 표현해오던 것을 정의하는 등 수학 발전에 크게 이바지했다. 그런데 수학사에서 가장 중요하면서도 유명한 인물 중 한 사람임에도 불구하고 그에 대해 알려진 바는 거의 없다.

 

목차

1. 탈레스

2. 원은 지름에 의해 이등분된다.

3. 피타고라스

4. 피타고라스학파와 수의 비밀

5. 피타고라스의 정리

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1. 탈레스

 

수학이 일련의 추상적 원리를 통해 논리적으로 발전한다고 보는 입장에서는 피타고라스가 최초의 수학을 한 것은 아니었다. 그것은 탈레스에 의해 이루어졌다.

탈레스는 이미 받아들여진 수학 법칙을 바탕으로 증명될 수 있는 명제 또는 가설을 최초로 형식화했다는 점에서 중요한 인물이다. 탈레스의 여러 정리가 비교적 기초적인 다루고 때때로 자명해 보이는 관계들을 단지 자세히 설명하고 있을 뿐이지만, 그의 업적은 수학사에 획기적이면서도 혁신적인 성과를 이룰 수 있게 했다.

일반적이고 보편적인 규칙을 추론함으로써 수학을 하나의 학문으로 바꾸었다.

오늘날 탈레스가 연구한 내용이 단 하나도 남아 있지는 않지만 후세는 기초 기하학의 다음과 같은 수많은 발견들을 그의 공으로 돌렸다.

 

 

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2. 원은 지름에 의해 이등분된다

 

이등변삼각형의 두 밑각의 크기는 같다.

두 직선이 만날 때 서로 마주 보는 두 각의 크기는 같다

닮은 삼각형의 변의 길이는 비례한다.

두 각의 크기와 그 사이에 있는 한 변의 길이가 각각 같은 두 삼각형은 합동이다.

반원의 원주각은 직각이다.

 

 

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3. 피타고라스

 

피타고라스는 기원전 569년경 이오니아(지금의 터키)에서 한참 떨어진 사모스라는 섬에서 태어났으며, 탈레스의 제자였던 철학자 아낙시만드로스에게서 학문을 배웠다. 피타고라스는 수학을 공부하기 위해 이집트로 여행을 떠났으며, 페르시아를 여행한 뒤에는 시칠리아로 여행을 떠났다가 당시 그리스의 식민지들이 많았던 이탈리아 남쪽에 위치한 항구도시 크로톤에 정착했다.

그는 그 곳에서 피타고라스학파라고 불리는 비밀스러운 조직을 만들었는데, 이 조직은 오랫동안 크로톤의 문화 및 생활 전반을 지배했다.

 

 

과학의 역사에서 봤을 때 피라고라스학파가 그리스 사회와 역사를 통틀어 독자적이고 남다른 점은, 그들 스스로에게 그리스 전통의 수학과 철학의 창설자로서의 책임의식이 있었다는 점이다. 피타고라스는 세상에 있는 모든 것들은 수의 지배를 받는다고 믿었다.

대개는 피타고라스가 발견한 것으로 알려진 것들이나 여러 수학적 정리들이 피타고라스학파에 의해 발견된 것으로 보는 것이 보다 정확하다고 할 수 있다.

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4. 피타고라스학파와 수의 비밀

 

피타고라스학파는 수의 산술적 특성들을 다루는 수론의 토대를 구축한 것으로 여겨지고 있다. 기하학적 도형에 맞추어 수를 표현하는 형상수에 특별한 관심을 가져 어떤 수(n)를 제곱한 것이 처음 n개의 홀수들의 합과 같다는 것을 알아냈다.

n=5인 경우, 52=1+3+5+7+9=25이다. 이건 n이 어떤 수에서도 동일하게 적용된다.

피타고라스학파는 어떤 수를 나눌 때 나누어떨어지는 모든 수들(자신을 제외한 양의 약수들)의 합이 바로 그 수가 되는 완전수에도 관심을 가졌다. 예를 들어 6의 경우, 6을 제외한 양의 약수는 1, 2, 3이고, 1+2+3=6이므로, 6은 완전수다.

 

 

또 그들은 첫 번째 친화수를 발견하기도 했다. 친화수는 두 수에 대해 어느 한 수의 자기 자신이 아닌 모든 약수들의 합이 다른 수가 되는 것을 말한다. 예를 들어 220의 약수는 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110이고, 이 수들의 합은 284다. 또 284의 약수들은 1, 2, 4, 71, 142이고, 이 수들의 합 또한 220이므로, 220과 284는 친화수다.

 

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5. 피타고라스의 정리

 

많은 학생들이 수학 시간에 가장 먼저 만나는 수학자 이름이 피타고라스이며, 그것은 피타고라스 정리 때문일 것이다. 하지만 피타고라스의 정리는 실제로 피타고라스가 발견한 것은 아니었다. 최소한 1000년 정도 앞서 바빌로니아인들이 이미 알고 있었고, 고대 이집트인들도 가장 간단한 형태로 일상생활에 적용하고 있었다.

그러나 피타고라스가 처음으로 이 정리에 대한 기하학적 증명을 한 것으로 인정되고 있으며, 널리 알려지게 된 것은 제자들인 마테마티코이에 의해서였다. 피타고라스가 한 증명법은 몇몇 가정을 통해 결론이 유도된다는 것을 보여주는 것이었다.

 

 

피타고라스 정리는 직각삼각형(하나의 직각을 포함하고 있는 삼각형)의 짧은 두 변(a와 b)의 제곱의 합은 나머지 하나의 긴 변(c) 즉 빗변의 제곱과 같다는 것이다.

수세기 동안 학생들에게 기억되어 온 이 공식은 a제곱+b제곱=c제곱이다.

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