산술

산술은 가장 간단하고 오래된 수학의 한 분야로, 보통의 수와 분수를 다루며, 이 수들로 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈을 한다. ’arithmetic’이라는 용어는 ‘수’를 뜻하는 그리스어 arithmos에서 유래했으며, 또 ‘to fit together’를 뜻하는 인도유럽어 ar-에서 유래한 것이다.

 

 

목차

1. 기본 연산 - 덧셈

2. 기본 연산 - 뺄셈

3. 기본 연산 - 곱셉, 나눗셈

4, 혼합 계산 순서

5. 계산 도구

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1. 기본 연산 - 덧셈

 

셈은 가장 간단한 덧셈 방식이다. 셈을 한 모든 수는 이미 센 물건들에 한 개를 더하는 것을 말한다. 두 수 a, b를 더하는 것은 a를 센 다음 b를 세는 것과 같다.

고대인들이 a 또는 b 중 어느 것을 먼저 셈하든 그 결과가 같다는 것을 확실히 알게 되었을 때, 수들이 추상개념이 되었던 것처럼 덧셈 또한 하나의 추상개념이 되었다.

 

 

덧셈은 ‘교환법칙’이 성립한다고 말한다. 그것은 덧셈의 순서를 바꾸어도 계산 결과가 같다는 것을 뜻하며, 대수적으로 a+b=b+a와 같이 나타낸다.

또 ‘결합법칙’이 성립하는데, 그것은 더해지는 수들의 순서가 중요하지 않다는 것을 뜻하며, 대수적으로 (a+b)+c=a+(b+c)와 같이 나타낸다. 값들을 더한 결과를 합이라 한다.

 

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2. 기본 연산 - 뺄셈

 

덧셈의 역은 뺄셈으로, 두 수의 차를 구한다. 뺄셈은 결합법칙이나 교환법칙이 성립하지 않는다. 바꿔 말하면 어떤 한 수에서 다른 것을 빼는 수들의 순서가 중요하다는 것이다.

예를 들어 7-3=4인 반면, 3-7=-4이다. 이로 인해 연산의 순서에 따라 계산할 때 혼란을 줄 수도 있다. 이를 해결하는 가장 쉬운 방법은 뺄셈을 a-b=a+(-b)와 같이 더해지는 수가 음수인 덧셈의 한 방식으로 생각하는 것이다.

이를테면 7+(-3)=4이고, (-3)+7=4이다.

이제 이 연산은 교환법칙이 성립한다.

 

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3. 기본 연산 - 곱셈, 나눗셈

 

곱셈은 인수인 두 수를 곱하는 것으로, 그 결과를 곱이라 하며 결합법칙과 교환법칙이 성립한다. 곱셈의 역은 나눗셈으로, 피제수를 제수로 나눈 몫을 구하는 것이다. 뺄셈과 마찬가지로, 나눗셈도 교환법칙과 결합법칙이 성립하지 않는다.

 

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4. 혼합 계산 순서

 

여러 연산이 혼합된 복잡한 식의 계산은 연산 순서를 정확히 알아야 한다. 식의 일부를 모난 괄호나 둥근 괄호로 묶어 계산하는 것은 연산 순서를 명확히 하는 데 도움이 된다. 보통 곱셈과 나눗셈을 덧셈과 뺄셈보다 먼저 한다.

2의 3승과 같이 거듭제곰 수가 포함된 식을 계산할 때, 괄호, 거듭제곱수, 곱셈과 나눗셈, 덧셈과 뺄셈 순으로 계산한다.

 

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5. 계산 도구

 

매우 큰 수나 계산해야 하는 수의 개수가 많아질수록 암산이 어려워지거나 아예 할 수 없는 경우가 생긴다. 여러 고대문명에서는 이를 위해 암산에 유용한 도구들을 만들었다. 대표적인 것으로 잉카의 키푸스나 주판을 들 수 있다. 초기의 주판은 돌이나 산가지를 놓는 여러 개의 가늘고 긴 홈을 파서 만든 셈판이었다.

선사시대에 모래나 흙에 그리던 선들은 셈판으로 대체되었으며, 현존하는 가장 오래된 셈판은 고대 바빌로니아인들이 만든 살라미스 셈판이다. 기원전 300년경에 만들어졌으며 대리석 판 위에 작은 돌을 올려놓고 계산했다.

 

 

로마인들은 가지고 다니기 편리한 소형의 목재 또는 금속 주판을 만들었다. 이 주판은 매끄러운 판 위에서 주판알을 위아래로 움직여 사용한다. 1200년경, 중국인들은 여러 개의 막대에 주판알을 끼워 위아래로 밀어 사용하는 오늘날의 주판의 초기 형태인 신판을 만들었다.

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