입체 도형

선, 다각형, 원은 모두 2차원 평면도형이다. 그러나 3차원인 실세계에서의 도형은 가로, 세로, 높이가 있는 3차원 도형이다. 이 3차원 도형을 공간 도형 또는 입체 도형이라 하고, 종류로는 다면체와 구, 원기둥, 원뿔과 같은 비다면체가 있다.

 

 

목차

1. 다면체

2. 구와 원기둥

3. 오일러 공식

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1. 다면체

 

모든 면이 합동인 다면체를 정다면체라고 한다. 플라톤 입체도형은 볼록 정다면체다. 다면체에는 모서리가 선분으로 되어 있고 높이를 따라 모든 단면이 같은 입체도형인 각기둥이 있다.

각기둥에서는 서로 마주 보는 면들이 모두 평행하며, 각기둥 중에 모든 면이 직사각형으로 되어 있는 것을 직육면체 또는 사각기둥이라 한다.

또 이 사각기둥 중에는 최소한 두 개 이상의 면이 정사각형으로 되어 있는 특별한 사각기둥인 정방형주가 있으며, 모든 면이 정사각형으로 되어 있는 특별한 정방형주인 정육면체가 있다.

각기둥의 부피는 각기둥의 한 밑면의 넓이에 높이를 곱하여 계산한다.

 

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2. 구와 원기둥

 

구는 원의 지름을 축으로 하여 회전시킬 때 나타나는 모양으로, 구면 위의 모든 점들은 구의중심에서 같은 거리만큼 떨어져 있다. 구는 겉넓이에 대한 부피의 비가 최대인 도형이다. 즉 부피가 같은 여러 입체도형에 대하여 겉넓이가 가장 작은 도형이다.

원기둥은 각기둥과 비슷하지만 옆면은 곡면, 밑면은 원형 또는 타원형으로 되어 있다. 밑면이 원형인 원기둥의 무피는 밑면인 원의 넓이에 원기둥의 높이를 곱하여 계산한다.

 

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3. 오일러 공식

 

위대한 스위스 수학자 레몬하르트 오일러는 다면체에 대하여 (면의 수) + (꼭지점의 수) - (모서리의 수)가 항상 2와 같다는 것을 알아냈다.

F + V – E = 2

예를 들어 육면체는 여섯 개의 면과 여덟 개의 꼭짓점, 열두 개의 모서리를 가지고 있으므로, 오일러 공식으로 풀어보면 6 + 8 – 12 = 2 가 성립된다.

 

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